вторник, 24 сентября 2013 г.

Загадка суммы цифр числовой последовательности

Одна из простых вычислительных задач привела меня к следующим вопросам.

Пусть \(s_{10}(n)\) - сумма цифр записи числа \(n\) в десятичной системе счисления, a \(ds2t(n) = s_{10}(2^{10^n})\).

Для \(n = 1,2,...,7\) я составил такую таблицу:

\(ds2t(1) = s_{10}(2^{10^1}) = 7\),
\(ds2t(2) = s_{10}(2^{10^2}) = 115\) ,
\(ds2t(3) = s_{10}(2^{10^3}) = 1366\),
\(ds2t(4) = s_{10}(2^{10^4}) = 13561 = 135\cdot10^2 + 61\),
\(ds2t(5) = s_{10}(2^{10^5}) = 135178 = 135\cdot10^3 + 178\),
\(ds2t(6) = s_{10}(2^{10^6}) = 1351546 = 135\cdot10^4 + 1546\),
\(ds2t(7) = s_{10}(2^{10^7}) = 13546438 = 135\cdot10^5 + 46438\),

далее, выяснилось, что и при \(n = 8\) для \(ds2t(n)\) сохраняется закон, который начал действовать с n = 4: \(ds2t(n) = 135\cdot10^{n-2} + r, r\ge0\).

А именно,

\(ds2t(8) = 135481777 = 135\cdot10^6 + 481777\)

это наводит на мысль, что тот же закон будет действовать и для \(n\ge9\).

Мне пока непонятно, как доказать или опровергнуть эту гипотезу, если только не пытаться найти опровержение посредством вычисления очередного \(ds2t(n)\).

В более широкой последовательности \(s_{10}(2^{n}),  n = 1, 2, 3, ... \) числа вида  \(135\cdot10^{k} + r\), вообще говоря, встречаются нечасто. 

Проверив 281686 показателей, я нашел, что только 816 из них приводит к появлению чисел вида \(135\cdot10^{k} + r\). Возникает вопрос: каков закон распределения этих чисел?

Далее представлена таблица из указанных выше 816 показателей \(2^n\).