вторник, 5 августа 2014 г.

Несколько простых тождеств с гармоническими числами

В качестве упражнения вывел несколько простых тождеств с гармоническими числами.

Не уверен, что они новы и сильно полезны; но с другой стороны и в полной их бесполезности уверенности нет.

Поэтому решил опубликовать их здесь.

Первое тождество совсем тривиально:

\((H_n)^3 \equiv \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{1}{ijk}\).

Остальные несколько сложнее, но тоже практически очевидны:

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^1\frac{1}{ijk}\equiv \frac{1}{2}H_n(H_n^2-\zeta_n(2))\);

\(\zeta_{n}(2) \equiv (H_{n})^2-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2H_k}{k+1}-1\);

\(H_{n^2} + 1 \equiv (H_n)^2 + \sum_{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^2-1} - \frac{2H_{k}}{k+1} - H_{k^2}\right)\),

где \(H_n := \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\) - \(n\)-ое гармоническое число, \(\zeta_{n}(2) := \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\).



Комментариев нет:

Отправить комментарий