воскресенье, 17 августа 2014 г.

Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется?

Недавно на Хабре появилась удивительная статья «Папа, а почему на ноль делить нельзя?», которая собрала массу не менее удивительных комментариев. 

Детские вопросы обычно очень сложны ("Почему небо ночью темное?", "Почему яблоки падают на землю?") и у взрослых обычно не хватает времени, чтобы их доходчиво объяснить. 
Да и не всегда взрослые знают ответ на эти вопросы. 

Однако, вопрос о делении на ноль ни разу не относится к числу сложных вопросов, и для меня остается загадкой, почему с ним возникает столько проблем. Наверное, виной тому какие-то изъяны в методике преподавания математики в средней школе, в трудностях перехода от изучения арифметики к изучению буквенной алгебры и свойств элементарных функций. 

График гиперболы в интервале [0,1,10],
полученный при помощи системы Maxima
Самые серьезные сомнения появляются, я думаю, после изучения рациональных чисел, когда для любого числа \(x\), кроме нуля, вводится понятие обратного числа \(1/x\), и графика гиперболы \(y(x) = 1/x\). 

Очевидно, что при делении 1 на очень маленькие числа появляются очень большие числа, и чем меньше мы берем \(x\), тем больше становится \(1/x\). Почему же мы не можем сказать, что \(1/x = \infty\) - есть некоторое число?

Алгебраическое возражение против этого состоит в следующем. Предположим, что \(\infty = 1/x\) является числом. Тогда на это число должны распространяться все правила, которые имеют место быть для обычных чисел. В частности, с одной стороны должно быть верно соотношение \(0\cdot\infty=1\) , а с другой стороны поскольку \(0 = 1-1\) должно быть выполнено \(0\cdot\infty = 1\cdot\infty - 1\cdot\infty = 0\). Таким образом, имеем \(1 = 0\), а из этого уже следует, что все числа равны между собой и равны нулю. В самом деле, поскольку для любого числа \(x\) верно \(1\cdot x = x\), то \(1\cdot x = 0 \cdot x = 0\). 

«Ну разве это не полная чушь?» — спросим себя, добравшись до этого места.

Разумеется, это полная чушь, если мы говорим об обычных числах. Но я недаром подчеркнул выше слово «правила». К ним мы вернемся чуть позже, после рассмотрения арифметического возражения против деления на ноль, и поможет нам в этом фасоль. 

Вернемся в те времена, когда не было ни компьютеров, ни калькуляторов, ни логарифмических линеек, и поставим перед собой задачу разделить некоторое случайное число, например, на 5. 

Для этого берем чашу с фасолью, символизирующую натуральный ряд, и высыпаем из нее какое-то количество зерен на разлинованный лист бумаги: 




Тем самым, мы установили делимое на нашем бобовом калькуляторе.

Задача состоит в том, чтобы разложить эти зерна на пять рядов. Чтобы не запутаться отмечаем эти ряды, то есть, устанавливаем делитель



Теперь раскладываем зерна из кучи на пять рядов в столбик. Это значительно дольше, чем на обычном калькуляторе, зато позволяет почувствовать всю прелесть арифметики до изобретения позиционной системы счисления.


Алгоритм завершается, когда мы получаем некоторое прямоугольное число и (возможно) остаток: 



В данном примере осталось 2 зерна, а рядов по 5 зерен образовалось 18. Получается, что случайное число было \(18 \cdot 5 + 2 = 92\).

Ясно, что мы можем выполнить этот алгоритм для любого натурального делимого и любого натурального делителя, отличного от нуля; если же делитель равен 0, то этот алгоритм выполнить попросту невозможно. 

«Подождите!» — скажет внимательный читатель. — «В рассмотренном примере мы получили остаток 2, что с ним делать?»

Это, на самом деле, очень важное замечание. Вообще говоря, мы не можем делить фасолины, не испортив наш бобовый калькулятор — мало того, что разделить 2 фасолины на 5 одинаковых частей проблематично, даже если мы их раздробим подобающим образом, мы уже не сможем их собрать.


Поэтому достаточно долго люди старались обходиться без дробей. Например, в анонимной арабской рукописи XII века описана следующая задача: «разделить 100 фунтов между 11 человеками». Поскольку \(100=11 \cdot 9 + 1\), средневековый математик предлагает сначала раздать каждому по 9 фунтов, а затем обменять оставшийся фунт на яйца, которых, как оказывается по курсу обмена, получается ровно 91. Но \(91 = 11\cdot8 + 3\), поэтому арабский ученый предлагает раздать каждому по 8 яиц, а три оставшихся яйца отдать тому, кто производит раздел, или же обменять на соль к яйцам.


Говоря современным математическим языком, деление проводилось в полукольце натуральных чисел. Впрочем, с таким же успехом, используя красную и белую фасоль, мы могли бы определить деление с остатком и в кольце целых чисел  — в изложенном алгоритме появились бы дополнительные правила для выбора цветов используемых для вычислений зерен фасоли, но точно так же остались бы бессмысленными операции вида \(x/0\) и \(5/2\).

Очевидно, что для того, чтобы придать символу \(5/2\) конкретный смысл, нужно изменить правила игры, и перейти к полю рациональных дробей, пополнив множество целых чисел всевозможными выражениями \(m/n\), где \(m\) - целое, а  \(n\) - натуральное.

Важно заметить, что сделать это можно не единственным способом, однако в классической арифметике рассматривается такое пополнение, в котором символ \(1/n\) означает долю от деления 1 на \(n\), т. е. такое число, для которого верно выражение \(n \cdot 1/n =1\); при чем доли имеют смысл не при подсчете штучных предметов (например, зерен фасоли), а при измерении величин, которые предполагаются непрерывными (или хотя бы неограниченно делимыми) - длин отрезков, площадей фигур и т. д.

В поле рациональных дробей уже нет смысла рассматривать неполное частное и остатки, так как частное от любого ненулевого делителя является какой-то рациональной дробью. Более того, как и в случае с натуральными числами, мы можем использовать для деления фасоль  без изменения алгоритма.

В самом деле, пусть требуется разделить рациональное число \(\alpha = {p}/{q}\) на \(\beta = {r}/{s}\). Это равносильно выполнению следующих действий:

\(\alpha:\beta = {p}/{q} : {r}/{s} = {p\cdot s}/{q\cdot r}\)

и задача при любых рациональных \(\alpha\) и \(\beta\) свелась к уже известной процедуре деления целых чисел. Это еще раз показывает, что деление на ноль не имеет никакого арифметического смысла.

«Получается, делить на ноль нельзя, даже если очень хочется?» — увы, ответ на этот вопрос положительный: мы не можем определить операцию деления на ноль исходя их естественных потребностей счета и измерений.  Правда, есть две лазейки.

Первая: вместо «обычных» чисел (т.е. кольца натуральных и поля рациональных, а также поля действительных чисел, о котором я, кстати, до сих пор не сказал ни слова и расскажу как-нибудь в другой раз) рассмотреть вырожденный случай — тривиальное кольцо \({0}\), и положить по определению \(0/0 = 0\). В этом случае, когда нам говорят: «Все числа равны между собой и равны нулю!» - мы можем сказать невозмутимым тоном: «Ну и что? Это всегда было так».

Вторая: отказаться от некоторых привычных правил умножения. В частности, от аксиомы \(0 \cdot x = 0\). Говорят, что это возможно (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory). Разумеется, этот вариант гораздо интереснее первого, но и он представляет собой такое изменение правил игры, которое сразу выводит нас за рамки классической арифметики.

В заключение этой заметки, хочу привести список литературы для тех, кто заинтересовался числовыми системами: 

— И .В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.
— Е. Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша, хотя не так подробна, как книга И.В. Арнольда.С. Феферман «Числовые системы» — классическая монография, местами достаточно сложная; в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.

— А. А. Кириллов «Что такое число?» (1993) — небольшая брошюра, рассчитанная на подготовленного читателя.

— Е. Б. Дынкин, В. А. Успенский  «Математические беседы» — популярная книга, рассчитанная на школьников. Содержит массу информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа.

1 комментарий:

  1. Этот комментарий был удален администратором блога.

    ОтветитьУдалить