среда, 6 августа 2014 г.

Повторы и скачки

Пусть \(K(n)\) — наименьшее из чисел, которые делятся на \(1,2,3,..., n\).

Выпишем несколько членов этой последовательности (больше можно увидеть в энциклопедии OEIS - см. последовательность A003418):

\(1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720,...\).

Очевидно, что \(K(n)\) монотонно возрастает: при любом натуральном \(n\) верно неравенство \(K(n+1)\ge K(n)\). В тех точках, где неравенство строгое будем говорить, что \(K(n)\) делает скачок. 

Однако, в некоторых случаях возникают цепочки повторов длины \(l\): 

\(K(n-1)<K(n)=K(n+1)=K(n+2)=...=K(n+l-1)<K(n+l)\).

Обозначим через \(C(l)\) наименьшее из чисел \(K(n)\), с которых начинается цепочка повторов длины \(l\).

Ясно, что \(C(2) =60, C(3) = 360360\).

Спрашивается, каковы \(C(4), C(5), C(6),...\)?

Еще интереснее вопрос о цепочках скачков. 

Если \(J(l)\) — наименьшее из чисел \(K(n)\), с которого начинается цепочка скачков длины \(l\), то есть имеет место 

\(K(n-1)=K(n)<K(n+1)<K(n+2)<...<K(n+l-1)=K(n+l)\),

то каковы \(J(2), J(3), ...\)? 

Если, как это указано в OEIS, положить по определению \(K(0):=1\), то можно сказать, что \(J(5)=1\); также очевидно, что \(J(4)=60\).

И последний, самый интересный вопрос: что встречается чаще — цепочки повторов или цепочки скачков? 

Комментариев нет:

Отправить комментарий