среда, 6 августа 2014 г.

Хладнокровные и прыгающие числа

Беглый просмотр последовательности \(\{K(n) := [1,2,...,n]\}\) позволяет сказать, что цепочки повторов и скачков длины \(l\) (см. запись о повторах и скачках) встречаются в этой последовательности не в единственном экземпляре.

Более того, можно предполагать, что для любого \(l\in\mathbb{N}\) такие цепочки существуют и повторяются неограниченное множество раз. 

Исходя из этого предположения, я буду называть числа, с которых начинаются цепочки повторов длины \(l\) хладнокровными (это название им подходит, поскольку далее они сохраняют постоянство) и обозначать их как \(C(l,n)\), где \(n=1,2,3\dots\) - номер очередного числа в последовательности хладнокровных чисел; числа, с которых начинаются цепочки скачков длины \(l\)  я буду называть прыгающими (их можно было бы назвать "скачущими числами", но такой термин представляется мне вульгарным) и обозначать их как  \(J(l,n)\), где \(n=1,2,3\dots\) - номер очередного числа в последовательности прыгающих чисел.

Таким образом, приходим к следующим любопытным вопросам:

  • Действительно ли для любого \(l\ge1\) существуют хладнокровные и прыгающие числа? 
  • Каковы последовательности хладнокровных  \(C(l,n)\) и прыгающих  \(J(l,n)\) чисел?
  • Как часто встречаются хладнокровные и прыгающие числа?
  • Как соотносятся \(C(l,n)\) и \(J(l,n)\) при различных \(l\) и \(n\), т. е.  какой знак имеет выражение \((C(l,n)-J(l,n)\))?

Характер роста первых шести прыгающих чисел \(J(1,n)\) показывает следующая последовательность:  

\(J(1,1)=K(10)=2520\), 
\(J(1,2)=K(13)=360360\),
\(J(1,3)=K(18)=12252240\),
\(J(1,4)=K(22)=232792560\),
\(J(1,5)=K(24)=5354228880\),
\(J(1,6)=K(26)=26771144400\).

Комментариев нет:

Отправить комментарий